Фрактал происходит от латинского
прилагательного
"fractus", и в переводе означает
состоящий из фрагментов, а соответствующий латинский глагол
"frangere" означает разбивать, то есть создавать неправильные фрагменты.
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины
80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Оно было предложено
Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных
структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято
связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта
- <Фрактальная геометрия природы>. В его работах использованы
научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же
области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время
удалось объединить их работы в единую систему.
Фрактал
- это грубая или фрагментированная геометрическая форма, которая может
быть разделена на части, каждая из которых (по крайней мере, приблизительно),
уменьшенная копия всего целого. Можно дать несколько определений фрактала:
1) расходящийся критерий: любая форма, обладающая
таким необычным свойством, что когда вы измеряете длину, область, поверхность
области или объем в дискретных единицах измеряемое значение изменяется по
экспоненте на размер дискретной единицы.
2)
определение Хаусдорфа: любая геометрическая форма, не содержащая размерность
Хаусдорфа, т.е., геометрическая фигура или естественный предмет, обладающий
следующими характеристиками:
а) часть имеет туже
структуру или форму, как и целое, за исключением того, что они при различном
масштабе могут немного искажаться;
б) форма сильно
неправильна и фрагментирована, и остается такой независимо от масштаба.
Существует много математических структур, которые являются фракталами.
Например: треугольник
Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта,
аттрактор Лоренца и другие. Фракталы с большой точностью описывают многие
физические явления и образования реального мира: облака, горы, турбулентные
течения, береговые линии, корни, ветки деревьев, легкие животных, что далеко не
соответствует простым геометрическим фигурам. Мандельброт дает математическое
описание фрактала как множества, размерность которого строго превышает
топологическую размерность.
Топологическая размерность - это та нормальная
размерность, которую мы привыкли использовать. Точка имеет топологическую
размерность 0, линия - топологическую размерность 1, поверхность -
топологическую размерность 2... Строгое определение: топологическая размерность
множества A равна нулю, если для любой точки множества A найдется сколь угодно
малая окрестность, граница которой не пересекается с A; топологическая
размерность A равна n, если для любой точки этого множества найдется сколь
угодно малая окрестность, граница которой пересекается с A по множеству
размерности n-1, и кроме того n есть положительное наименьшее число для которого
это условие выполнено.
Почитать
